上週國小的主題課程中，討論到了曾經引起熱列討論的「三門問題」：
三門問題（Monty Hall problem）又稱為蒙提霍爾問題，或蒙特霍問題，是一個源自博弈論的數學遊戲問題，大致出自美國的電視遊戲節目Let’s Make a Deal。而問題的名字來自於該節目的主持人蒙提．霍爾（Monty Hall）。
這個遊戲的玩法是：參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中這扇門就可以贏得該汽車，而另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人會開啟剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門是否會增加參賽者贏得汽車的機率？
這道問題的答案是會—換門的話，贏得汽車的機率是2/3，而不換的話，贏得汽車的機率是1/3。而這究竟是為什麼呢？
在不換門的前題下，主持人開啟門的動作，對參賽者沒有影響，所以選中汽車的機率其實就是一開始從三扇門中選中汽車的機率，即1/3。
現在如果要換門，因為主持人已經知道汽車的位置了，因此必定會開啟有山羊的門，以致三扇門只剩下兩扇門（不是山羊，就是汽車）。此時，若參賽者原本選中的是有汽車的門，換門之後將輸掉汽車；反之，若原先選擇的是有山羊的門，換門之後將贏得汽車。因此，贏的機率其實取決於一開始選到羊的機率，因為一開始選到山羊的機率是2/3，經過換門後必定會贏，所以換門後會贏的機率是2/3。
請問，上述說法能夠說服各位老師嗎？是不是和我們原先的想法有很大的不同呢？而這究竟是為什麼？
大部份人一開始都會認為機率應該各佔1/2，那是因為考慮換或不換門的時間點，是在主持人已關上一扇門之後，只剩下兩扇門（山羊或是汽車）作選擇的情況下，容易讓人誤以為選到山羊或汽車的機率各佔一半。因此認為，在不換門的前題下，必須先選到汽車才能贏，所以機率為1/2；反之，如果要換門，必須先選到山羊，經過換門才能贏，所以機率也是1/2。
但請仔細想想，一開始選到山羊和汽車的機率真的各佔一半嗎？是不是應該是2/3和1/3呢？既然先選到汽車的機率為1/3，所以不換門而贏的機率應該為1/3；反之，先選到山羊的機率為2/3，換門之後會贏得汽車，所以換門會贏的機率為2/3。
考慮到整件事情的前因後果，才能得到更正確的答案，別忘了換不換門選到什麼與你一開始的選擇並非毫不相干，不可乎略不作考慮喔！
如果能夠了解三門問題的推論，請問針對主題課程中所提出的思考問題，各區是否有討論出哪些結果呢？可否提供出來給所有老師們參考？
題目：五個杯子中，僅一個杯子裡有放糖，小明先選二個杯子後，老師打開一個沒選且沒糖的杯子，此時是否要換杯子、換一個杯子或兩個杯子，哪一種情形贏得糖果的機率最高？
今天是「中國情人節」，也就是農曆中的七月七日。
相傳每年的今晚，牛郎與織女會在喜鵲所搭成的橋上一年一度的見面，
所以大家晚上要早點睡覺，不要吵到了們們的見面喔！
這是個浪漫的節日，我們也來一題浪漫的動動腦吧！
請大家利用七個7，及一般常用的運算符號，使得計算結果等於100！
我先提供一個答案：
7×7+7×7+(7+7)÷7=100
還有人能提供其他的答案嗎？
不知道大家有沒有注意到，上個星期五(8/13)恰好是西洋習俗中所謂的「黑色星期五」！
為什麼會特別注意到呢？因為這個黑色星期五恰好又落在中國傳統的「鬼月」之中，
西洋的不吉利「星期五」又加上了中國的諸事不宜的「鬼月」，真是陰上加陰，恐怖到極點呀！
希望大家都能平安無事。
不知道大家是否想過這樣的問題，一年之中「黑色星期五」最多、最少各會出現多少次呢？
今年國小三到六年級的師訓總算加入了高年級圖解法，雖然許多老師可能都已老早寫過這本書了，但透過眾人的討論，腦力激盪下得到的成果，應該會比自己一個人單打獨鬥來得豐富吧，所以一直令我非常期待．果然，上個月才討論第一到第四個單元，就帶給了我一些不同的教學想法．
在討論到和差問題的一個題目，一位老師提供了一個不錯的做法：
題目：原先甲的錢是乙的２倍，因為乙給了甲１２００元，所以甲的錢正好成為乙的４倍，問原先二人所帶的錢分別是多少？
利用階梯圖求解：
甲原有為乙的兩倍，畫出階梯圖後，乙扣掉了１２００元，而１２００平分成二等份，分別在甲的二線段後面增加６００元，因為此時甲的錢正好是乙的４倍，代表若乙剩１等份的錢，甲必有４等份的金額，由圖中可觀察出一等份剛好等於 １２００＋６００＝１８００
故乙原有１８００＋１２００＝３０００元
甲原有３０００*２＝６０００元
聽完這位老師的分享後，我們又討論到另一題也可以用此方式輕易求解：
題目：甲的錢是乙的３倍，如果甲給乙４６８元，則乙的錢變為甲的９倍，問甲．乙二人原有多少錢？
利用階梯圖，當甲移動等長的三線段給乙後（４６８＝１５６*３），甲剩下３等份，因為乙為甲的九倍，故應為２７等份，由圖中可求出，（１５６＋４６８）／２６＝２４．．．１等份
乙原有：２４＋１５６＝１８０元
甲原有：１８０*３＝５４０元
這兩題的共通點為，題中兩人原有固定的比例關係（倍數），經過移動後，兩人的比例關係改變了，有沒有發現，這種題型其實與六特第一章P12及P13的題目很類似，事後嘗試做了幾題，發現都可以利用階梯圖求出解來，甚至連早期更難的題目也可以（雖然過程中數字不見得很漂亮）
例如：A．B二人所有錢的比是４：７，A花去２００元，B得到１００元，結果二人所有錢的比變為１：２，那麼原先A有多少錢？
２００／４＝５０．．．A扣掉四段５０元
乙增加１００元後，A剩下４等份，B為A的二倍，故有８等份
由圖中可發現，１等份為：５０*７＋１００＝４５０元
故A原有（４５０＋５０）*４＝２０００元
沒想到以往很少用到的階梯圖，在遇到這類型的題目時，竟能產生如此大的功效，將原先看似困難的題目輕而易舉地解決掉了．
有興趣的老師們可多多參考，也謝謝師訓上那群總不吝惜發言的伙伴們，期望以後能有更良好的互動，大家一起加油吧！
最新回應